Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta  = {b^2} – 4ac.\) + \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\) + \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\) + \(\Delta  > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\), khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { – \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) bằng biệt thức thu gọn \(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – {\rm{a}}c\) với b = 2b’

Ví dụ 1: Xét dấu của tam thức bậc hai: \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\)

Giải

\(\Delta  = {3^2} – 4.2.( – 2) = 25 > 0\)

Tam thức bậc hai \(f(x) = 2{x^2} + 3x – 2\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  – 2,{x_2} = \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:

Ví dụ 2: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) ứng với đô thị hàm số y = f(x) được cho ở mỗi hình sau.

Giải

a) Từ đỗ thị Hình a ta có nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:

b) Từ đồ thị Hình b ta có tam thức bậc hai f(x) vô nghiệm. Bảng xét dấu tam thức f(x) là:

c) Từ đồ thị Hình c ta có tam thức bậc hai f(x) có hai ngghiệm là x₁ = -2 và x₂ = 1. Bảng xét dấu tam thức f(x) là: