Ví dụ: Cho tập hợp B gồm các số tự nhiên có một chữ số và chi hết cho 3. 

a) Viết tập hợp B theo hai cách: liệt kê các phần tử của tập hợp; chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

b) Minh hoạ tạp hợp B bằng biểu đồ ven.

Giải

a) Tập hợp B được viết theo cách liệt kê các phần tử là: B = {0; 3; 6; 9}.

Tập hợp B được viết theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử là: \(B = {\rm{\{ }}x \in N|x \le 9\) và \(x \vdots 3\} \)

b) Tập hợp B được minh hoạ bằng biểu đồ Ven ở hình sau

Nhận xét 

• Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (tập rỗng), kí hiệu là \(\emptyset \).
• Một tập hợp có thể không có phần tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử.

Chú ý: Khi tập hợp C là tập hợp rỗng, ta viết \(C = \emptyset \) và không được viết là \(C = \left\{ \emptyset  \right\}\). 

a) Tập con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của B và viết là \(A \subset B\). Ta còn đọc là A chứa trong B.

Qui ước: Tập hợp rỗng \(\emptyset \) được coi là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý: \(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B} \right).\)

Khi \(A \subset B\), ta cũng viết \(B \supset A\) (đọc là B chứa A)

Nếu A không phải là tập con của B, ta viết \(A \not\subset B\).

Ví dụ: Cho hai tập hợp: \(E = \left\{ {x \in R|x \le 1} \right\},F = \left\{ {x \in R|x < 2} \right\}\). Chứng tỏ rằng \(E \subset F\).

Giải

Lấy phần tử x tùy ý thuốc E. Ta có: \(x \le 1\). Vì \(x \le 1\) nên x < 2. Do đó \(x \in F\). 

Vậy \(E \subset F\). 

Ta có các tính chất sau: \(A \subset A\) với mọi tập hợp A; Nếu \(A \subset B\) và \(B \subset C\) thì \(A \subset C\)

b) Tập hợp bằng nhau

Khi \(A \subset B\) và \(B \subset A\) thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

Chú ý: \(A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)\). 

Ví dụ: Cho C là tập hợp các tam giác có ba cạnh bằng nhau và D là tập hợp các tam giác có ba góc bằng nhau. Hai tập hợp C và D có bằng nhau hay không?

Giải

Do một tam giác có ba cạnh bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó có ba góc bằng nhau nên hai tập hợp C và D là bằng nhau.

Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cap B\).

Vậy \(A \cap B = {\rm{\{ x|x}} \in {\rm{A}}\) và \(x \in {\rm{B\} }}\)

Tập hợp \(A \cap B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cap B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) và \(x \in B\)

Ví dụ: Tìm giao của hai tập hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) A = {x \(\in\) N | x là ước của 16}, B = {x \(\in\) N | x là ước của 20}

b) C = {x \(\in\) N | x là bội của 4}, D = {x \(\in\) N | x là bội của 5}

Giải

a) A = {1; 2; 4; 8; 16}, B = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Vậy \(A \cap B = \left\{ {1;2;4} \right\}\) 

Chú ý: A là tập hợp các ước tự nhiên của 16, B là tâp hợp các ước tự nhiên của 20 nên \(A \cap B\) là tập hợp các ước chung tự nhiên của 16 và 20.

b) \(C \cap D\) = {x \(\in\) N | x là bội của 4 và x là bội của 5}

        = {x \(\in\) N | x là bội chung của 4 và 5}

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cup B\)

Vậy \(A \cup B\) = {x | x \(\in\) A hoặc x \(\in\) B}.

Tập hợp \(A \cup B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cup B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) hoặc \(x \in B\)

Ví dụ: Cho tập hợp Q các số hữu tỉ và tập hợp I các số vô tỉ. Tìm \(Q \cap I,Q \cup I\) 

Giải

Ta có: \(Q \cap I = \emptyset ,Q \cup I = R\)

– Cho tập hợp A là tập con của tập hợp B. Tập hợp những phần tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu \({C_B}A\)

– Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

Vậy \(A\backslash B\) = {x | x \(\in\) A và x \(\notin\) B}.

Tập hợp \(A\backslash B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Ví dụ: Tìm \(A \cap B,A \cup B,A\backslash B,B\backslash A\). 

Giải

Ta có: \(A = \left\{ {0;1;2;3} \right\},B = \left\{ 1 \right\}\) 

Vậy \(A \cap B = \left\{ 1 \right\},A \cup B = \left\{ {0;1;2;3} \right\},A\backslash B = \left\{ {0;2;3} \right\},B\backslash A = \emptyset \) 

a) Các tập hợp số đã học

Ta đã biết N, Z, Q, R lần lượt là tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực.

Ta có quan hệ sau: \(N \subset Z \subset Q \subset R\)

b) Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực

Cho a và b là hai số thực với a < b.

Kí hiệu \( – \infty \) đọc là âm vô cực, kí hiệu \( + \infty \) đọc là dương vô cực; a và b được gọi là đầu mút của các đoạn, khoảng, nửa khoảng.

Chú ý: Ta có thể biểu diễn tập hợp trên trục số bằng cách tô màu phần thuộc tập đó, chẳng hạn đoạn [a; b] có thể biểu diễn ở phần tô màu đỏ như hình sau: