Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng công thức dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x², hệ số của x và hệ số tự do.

a) y = 8x² – 6x + 1;

b) y = 2x + 2021.

Giải

a) Hàm số y = 8x2 – 6x + 1 là hàm số bậc hai có hệ số của x² bằng 8, hệ số của x bằng – 6, hệ số tự do bằng 1.

b) Hàm số y = 2x + 2021 không phải là hàm số bậc hai.

* Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P): – Đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) – Trục đối xứng: đường thẳng \(x =  – \frac{b}{{2a}}\) – Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\) – Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)

* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

2) Vẽ trục đối xứng d: \(x =  – \frac{b}{{2a}}\)

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định \(B\left( {\frac{{ – b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

+) Bảng biến thiên

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = x² – 2x – 3.

Giải

Ta có: a = 1, b = -2, c = – 3, \(\Delta \) =(- 2)² – 4.1.(-3) = l6.

– Toạ độ đỉnh I(1 ; – 4).

– Trục đối xứng x = 1.

– Giao điểm của parabol với trục tung là A(0 ; – 3).

– Giao điểm của parabol với trục hoành là B( -1; 0) và C(3 ; 0).

– Điểm đối xứng với điểm A(0 ; – 3) qua trục đối xứng x = 1 là D(2; – 3).

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 – 2x – 3 như Hình sau.

+) Tầm bay cao và tầm bay xa

Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:

\(y = \frac{{ – g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)

Trong đó:

\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))

\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)

\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu

\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

 

 – Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

– Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.

+) Bài toán ứng dụng

Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.