Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vửa sai.

Ví dụ: Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mênh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?

P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng ${180}^o$${180}^o$${180^o}$”

Q: “$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$$\sqrt 2$ là số hữu tỉ”

Giải

Mệnh đề P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng ${180}^o$${180}^o$${180^o}$” đúng.

Mệnh đề Q: “$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$$\sqrt 2$ là số hữu tỉ” sai vì $\sqrt{2}$$\sqrt{2}$$\sqrt 2$ là số vô tỉ, không phải một số hữu tỉ.

Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Ta có thể khẳng định được tính đúng sai của câu trên hay không?

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

c) Với n = 10 thì câu ”10 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

Hướng dẫn

a) Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên. 

b) Với n = 21 thì câu “21 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học. Đây là một mệnh đề đúng do 21 : 3 = 7 nên 21 chia hết cho 3. 

c) Với n = 10 thì câu “10 chia hết cho 3” cũng là một mệnh đề toán học.  Mệnh đề này là mệnh đề sai vì 10 không chia hết cho 3. 

Nhận xét:

• Câu “nchia hết cho 3” với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.
• Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa bgiến x, y là P(x; y);…

Ví dụ: Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) 18 chia hết cho 9;

b) 3n chia hết cho 9.

Giải

a) Câu “18 chia hết cho 9” là một mệnh đeè nhưng không phải là mệnh đề chứa biến

b) Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề chứa biến, kí hiệu là P(n): “3n chia hết cho 9”

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là $\overline{P}$$\overline{P}$$\overline P$.

Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau vfa nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

A: “16 là bình phương của một số nguyên”;

B: “25 không chia hết cho 5”.

Giải

Mệnh đề $\overline{A}$$\overline{A}$$\overline A$: “16 không phải là bình phương của một số nguyên” và $\overline{A}$$\overline{A}$$\overline A$ sai.

Mệnh đề $\overline{B}$$\overline{B}$$\overline B$: “25 chia hết cho 5” và $\overline{B}$$\overline{B}$$\overline B$ đúng.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ sai hi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét: Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”…

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề:

P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰“; Q: “Tam giác ABC đều”.

Hãy phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Giải

$P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰ thì tam giác ABC đều”. Mệnh đề trên là đúng.

Nhận xét:  Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$. 

Khi đó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay P là điều kiện đủ đề có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$$Q\Rightarrow P$$Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$.  Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$$Q\Rightarrow P$$Q \Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu $P\iff Q$$P\iff Q$$P \Leftrightarrow Q$.

Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng “$P\iff Q$$P\iff Q$$P \Leftrightarrow Q$” cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

Nhận xét: Mệnh đề $P\iff Q$$P\iff Q$$P \Leftrightarrow Q$ có thể phát biểu ở những dạng như sau:

• “P tương đương Q”;
• “P là điều kiện cận và đủ để có Q”;
• “P khi và chỉ khi Q”;
• “P nếu và chỉ nếu Q”.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$$Q\Rightarrow P$$Q \Rightarrow P$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Giải

+) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$$P \Rightarrow Q$ là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”.

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$$Q\Rightarrow P$$Q \Rightarrow P$ là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$ suy ra tam giác ABC đều”.

Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.

+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)

“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”

“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”

“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”

“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$${60}^o$${60^o}$”

Cho mệnh đề “P(x), x $\in$$\in$$\in$ X”. Phủ định của mệnh đề $\forall x\in X,P\left(x\right)$$\mathrm{\forall }x\in X,P(x)$$\forall x \in X,P(x)$ là mệnh đề $\exists x\in X,\overline{P\left(x\right)}$$\mathrm{\exists }x\in X,\overline{P(x)}$$\exists x \in X,\overline {P(x)}$  Phủ định của mệnh đề $\exists x\in X,P\left(x\right)$$\mathrm{\exists }x\in X,P(x)$$\exists x \in X,P(x)$ là mệnh đề $\forall x\in X,\overline{P\left(x\right)}$$\mathrm{\forall }x\in X,\overline{P(x)}$$\forall x \in X,\overline {P(x)}$

Ví dụ: Bạn An nói: “Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm”

Bạn Bình phủ định lại câu nói của bạn An: :”Có một số thực mà bình phương của nó là một số âm”

a) Sử dụng kí hiệu “$\forall$$\mathrm{\forall }$$\forall$” để viết mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu “$\exists$$\mathrm{\exists }$$\exists$” để viết mệnh đề của bạn Bình.

Giải

a) An: “$\forall x\in R,x^2\ge 0$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$$\forall x \in \mathbb R ,{x^2} \ge 0$“

b) Bình: “$\exists x\in ,x^2<0$$\mathrm{\exists }x\in ,x^2<0$$\exists x \in ,{x^2} < 0$"