1.1. Giá trị lượng giác của một góc từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)
|
+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha {\rm{\;}} \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó: \(\sin \alpha {\rm{\;}} = {y_0}\) là tung độ của M \(\cos \alpha {\rm{\;}} = {x_0}\) là hoành độ của M \(\tan \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {90^o})\) \(\cot \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {0^o},\alpha {\rm{\;}} \ne {180^o})\) |
|---|
*Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} – \alpha \):
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = {\rm{\;}} – \cos \alpha }\\{\tan \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = {\rm{\;}} – \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o})}\\{\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = {\rm{\;}} – \cot \alpha ({0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)
Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} – \alpha \):
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cos \alpha }\\{\cos \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\tan \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\\{\cot \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)
*Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Ví dụ: Viết giá trị lượng giác của góc \({120^0}\)
Giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
cos{120^0} = – cos{60^0} = – \frac{1}{2};\\
\tan {120^0} = – \tan {60^0} = – \sqrt 3 ;\\
\cot {120^0} = – \cot {60^0} = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)
1.2. Định lí Côsin
|
Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A}\\{{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C}\end{array}\) |
|---|
* Hệ quả
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và \(\widehat A = {120^0}\)
a) Tính cos A
b) Tính độ dài cạnh BC
Giải
a) Ta có: \(\cos A = cos{120^0} = – cos{60^0} = – \frac{1}{2}\).
b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2{\rm{A}}B.AC.\cos A.\)
Thay số ta có: \(B{C^2} = {3^2} + {5^2} – 2.3.5.\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 49\)
Do đó: \(B{C^2} = \sqrt {49} = 7\).
1.3. Định lí Sin
|
Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) |
|---|
* Hệ quả
\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0},\widehat B = {45^0}\) và CA = 20. Tính
a) Sin A
b) Độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoài tiếp tam giác
Giải
a) Ta có: \(\sin A = \sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}
BC = \frac{{CA.\sin {\rm{A}}}}{{\sin B}} = \frac{{20.\sin {{120}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 6 ;\\
R = \frac{{CA}}{{2.\sin B}} = \frac{{20}}{{2.\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 2 .
\end{array}\)