Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng \(ax + by \le c\;;ax + by \ge c;ax + by < c;ax + by > c\) trong đó a, b, c là những số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by < c (*).

Mỗi cặp số (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ < c được gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Vi dụ: Ý Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge  – 5\) ?

a) (2; -1);

b) (-2; 0);

c) (-1; -1).

Giải

a) Thay x = 2, y = – 1, ta có: 3.2 + 2.(- 1) \( \ge \) – 5 là mệnh đề đúng.

Vậy (2 ; – 1) là nghiệm của bất phương trình.

b) Thay x = – 2, y = 0, ta có: 3. (-2) + 2.0 \( \ge \) – 5 là mệnh đề sai.

Vậy (- 2; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

c) Thay x = – 1, y = – 1, ta có: 3. (-1) + 2.(- 1) \( \ge \) – 5 là mệnh đề đúng.

Vậy (- 1 ; – 1) là nghiệm của bất phương trình.

* Mô tả miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể d) là miễn nghiệm của bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể d) là miễn nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by \( \le \) c hoặc ax + by \( \ge \) c thì miễn nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Ví dụ: Nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình 4 (không kể d) biểu diễn miễn nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hỏi toạ độ hai điểm M(- 1; 1), N(4; – 2) có là nghiệm của bất phương trình đó không?

Giải

+ Điểm M(- 1; 1) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch nên (-1; 1) là nghiệm của bất phương trình đó.

+ Điểm N(4 ; – 2) thuộc nửa mặt phẳng bị gạch nên (4 ; – 2) không là nghiệm của bất phương trình đó.

* Biểu diễn miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\). Bước 2: Lấy \(M({x_0};{y_0})\) không thuộc \(d\). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c. Bước 3: Kết luận – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho. – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

* Chú ý:

–  Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \(M\) là gốc tọa độ.

–  Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \(M\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

– Với BPT \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) hoặc \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nhiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

Ví dụ: Biểu diễn miễn nghiệm của mỗi bất phương trình sau: x + y > -1; x + y \( \ge \) 1.

Giải

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = -1.

+ Lấy điểm O(0 ; 0). Ta có: 0 + 0 = 0 > -1

+ Vậy miễn nghiệm của bất phương trình x + y > -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình dưới đây chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d; miền nghiệm của bất phương trình x + y \( \ge \) -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm O(0: 0) kể cả đường thẳng d.