Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Lớp 12

Đại số

Chương 2

a) Định nghĩa hàm số mũ

- Cho số thực dương \(a\) khác 1.

- Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

- Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)

- Tập giá trị: \((0;+\infty )\)

- Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

- Với \(0 < a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

- Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)

- Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)

- Đối với hàm hợp:

+ \(({e^u})' = u'.{e^u}\)

+ \(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

- Cho số thực dương \(a\) khác 1.

- Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

- Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)

- Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)

- Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

- Với \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

- Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

- Đạo hàm:

+ \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

- Đối với hàm hợp:

+ \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)

+ \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)