Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.1. Kiến thức cần nhớ
- Sự đơn điệu của hàm số.
- Cực trị của hàm số.
- Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.2. Một số dạng toán về sự đơn điệu của hàm số thường gặp
- Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
- Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.
2.3. Một số dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp
- Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
- Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định.
+ Tính \(y' \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right).\)
+ Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
+ Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
+ Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
- Dạng 3: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định D.
+ Tính \(y'\).
+ Tính \(\Delta _{y'}\).
+ Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}>0\) giải tìm m.
- Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định D.
+ Tính \(y'\).
+ Tính \(\Delta _{y'}\).
+ Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}\leq 0\) giải tìm m.
- Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp:
+ Tìm tập xác đinh D.
+ Tính \(y'\).
+ Tính \(\Delta _{y'}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
+ Chứng minh: \(\Delta _{y'}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
2.4. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Tìm GTLN - GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
- Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn.
2.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).
2.6. Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số
- Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
- Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)