Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2.1. Định nghĩa
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.
+ M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
+ m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).
2.2. Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số
a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D
- Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
- Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
- Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
+ Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
+ Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
+ Khi đó : \(\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = max\left\{ {f(a);f(b);f({x_i})} \right\};\mathop {min}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = min\left\{ {f(a);f(b);f({x_i})} \right\}\)