Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

- Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\).

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

- \(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

- Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} f'(x) < 0\; \forall x \in \left( {x_0 - h; x_0} \right)\\ f'(x) > 0\; \forall x \in \left( {x_0; x_0 + h} \right) \end{array} \right. \)  thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

+  Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} f'(x) > 0\; \forall x \in \left( {x_0 - h; x_0} \right)\\ f'(x) < 0\; \forall x \in \left( {x_0; x_0 + h} \right) \end{array} \right. \) thì x₀ là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

- Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ - sang + khi qua _{\(x_0\)} thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang - khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.

- Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

a) Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

b) Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm x_i của phương trình \(f'(x)=0\).

- Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.

- Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi.