Toán 11 Kết nối tri thức Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực
1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a) Lũy thừa với số mũ nguyên
- Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
+ Với a là số thực tuỳ ý:
\[a^n = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ thừa số}}.\]
+ Với a là số thực khác 0.
\[a^0 = 1; a ^{-n} = {1\over a^n}.\]
- Trong biểu thức \(a^m\), a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.
Chú ý: \(0^0\) và \(0^{-n} (n \in N)\) không có nghĩa.
b) Tính chất
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
|
Với \(a \ne 0, b \ne 0\) và m, n là các số nguyên, ta có: \(\begin{array}{l} {a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{\quad\quad\quad}\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}};\\ {\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}};{\quad\quad\quad}{\left( {ab} \right)^m} = {a^m}{b^m};\\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}. \end{array}\) |
Chú ý:
+ Nếu a > 1 thì \(a^m >a^n\) khi và chỉ khi m > n.
+ Nếu 0 < a < 1 thì \(a^m >a^n\) khi và chỉ khi m < n.
1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
a) Khái niệm căn bậc n
|
Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \(b^n = a\). |
Nhận xét: + Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\). Căn bậc 1 của số a chính là a.
+ Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giả trị dương kí hiệu là \(\sqrt[n]{a} \) (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là \(-\sqrt[n]{a} \).
b) Tính chất của căn bậc n
Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:
(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).
c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
|
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\) trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \(a^r\), xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\] |
Chú ý: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.
1.3. Lũy thừa với số mũ thực
a) Khái niệm lũy thừa với số mũ thực
|
Cho a là số thực dương và \(\alpha\) là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (\(r_n\) ) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha \). Luỹ thừa của a với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^\alpha\). \[{a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}.\] |
Chú ý: Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.
b) Tính lũy thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay
