Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow u \) khác \(\overrightarrow 0 \) được goi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(\Delta \).

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì k\(\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nêu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow u \), hay \(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\) Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  - 3 - t
\end{array} \right.\)

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \)được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó vuông góc với \(\Delta \).

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thi k\(\overrightarrow n \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m =  - \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.

+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y =  nx + p (với \(n =  - \frac{a}{b},p =  - \frac{c}{b}\))

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ pháp tuyến.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ chỉ phương.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow u  \ne \vec 0} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A ở dạng: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\). 

c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0}} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó. phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + \left( {{x_1} - {x_0}} \right)t\\
y = {y_0} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)t
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \({x_1} - {x_0} \ne 0\) và \({y_1} - {y_0} \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) ở dạng:

\(\frac{{x - {x_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{y_1} - {y_0}}}\)

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng A thoả mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(- 2 ; - 3) và có \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\) là vectơ pháp tuyến;

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(3 ; - 5) và có \(\overrightarrow u  = \left( {2;-4} \right)\) là vectơ chỉ phương;

c) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm A(- 3; 4) và B( 1; - 1).

Giải

a) Phương trình \(\Delta\) là 2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 ⇔ 2x + 5y + 19 =0.

b) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\). 

c) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x + 3}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{y - 4}}{{\left( { - 1} \right) - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\).