a) Biểu thức tọa độ tích có hướng

Cho hai vectơ \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) được gọi là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được xác định như sau:

\(\begin{array}{l}
\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}\;\;\;{z_1}}\\
{{y_2}\;\;\;{z_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1}\;\;\;{x_1}}\\
{{z_2}\;\;\;{x_2}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}\;{y_1}}\\
{{x_2}\;{y_2}}
\end{array}} \right|} \right)\\
 = ({y_1}{z_2} – {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} – {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})
\end{array}\)

b) Tính chất 

Vectơ \(\overrightarrow n\) vuông góc với cả hai vectơ  \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b.\)

c) Ứng dụng của tích có hướng

– Chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:

+ \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}\neq 0.\) Suy ra 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\).

+ \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}= 0\). Suy ra A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}=0\).

– Tính diện tích tam giác và hình bình hành:

+ Diện tích hình bình hành ABCD: \(S_{ABCD}=\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |\).

+ Diện tích tam giác \(\Delta ABC\): \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |\).

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ \(\vec n\) khác \(\vec 0\) có giá vuông góc với (P) thì \(\vec n\) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \(Ax+By+Cz+D=0, \,\, A^2+B^2+C^2\neq 0)\).
Với \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

c) Viết phương trình mặt phẳng khi biết Vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó

– Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}\), nhận vectơ \({\vec n = (A;B;C)}\) làm VTPT có phương trình tổng quát là:

\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

– Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

e) Một số cách xác định Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Gọi \(\vec n\) là VTPT của mặt phẳng (P), giải sử tồn tại \(\vec u_1\) và \(\vec u_2\) sao cho \(\left.\begin{matrix} \vec{n}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \vec{n}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right\}\) thì \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2} \right ]\) là một VTPT của mặt phẳng (P).

– Mặt phẳng (ABC) có một VTPT \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]\).

– Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):

+ ​Gọi: \(\overrightarrow{n}_P\) là một VTPT của (P), \(\overrightarrow{n}_Q\) là một VTPT của (Q) khi đó: \(\overrightarrow{n}_P=\overrightarrow{n}_Q.\)

– Cho đường thẳng AB và mặt phẳng (P): \(\bigg \lbrack \begin{matrix} AB\subset (P)\\ AB //(P) \end{matrix}\) thì \(\vec{n_P}\perp \overrightarrow{AB}.\)

– Nếu \((P)\perp (Q)\) thì \(\overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{n}_Q\).

– Cho hai mặt phẳng \((\alpha _1) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) có một VTPT \(\vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)\) và \((\alpha _2) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\) có một VTPT \(\vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)\).

– Khi đó vị trí tương đối giữa \((\alpha_1)\) và \((\alpha_2)\) được xác định như sau:

+ \((\alpha _1)//(\alpha _2)\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1\neq D_2 \end{matrix}\right.\).

+ Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\): \((\alpha _1)//(\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}\).

+ \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\) khi và chỉ khi  \(\left\{\begin{matrix} \vec{n_1}=k.\vec{n_2}\\ D_1=k. D_2 \end{matrix}\right.\).

+ Nếu \(A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0\) thì \((\alpha _1)\equiv (\alpha _2)\Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}\).

+ \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\vec{n_1}\neq k.\vec{n_2}\).

​+ Nếu \(A_2,B_2,C_2\neq 0\) thì \((\alpha _1),(\alpha _2)\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\\ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\\ \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} \end{matrix}\).

– Cho mặt phẳng (P): \(Ax+By+Cz+D=0 \ \ (A^2+B^2+C^2\neq 0)\) và điểm \(M(x_0,y_0,z_0)\).

– Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: \(d(M;(P))=\frac{\left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).

– Cho hai mặt phẳng \((P)\;{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) và \((Q)\;{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) có VTPT lần lượt là:

\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\), khi đó:

​\(cos\widehat {(P,Q)} = \left| {cos({{\vec n}_P};{{\vec n}_Q})} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_P}} \right|\left| {{{\vec n}_Q}} \right|}}\)\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)

– Chú ý:

+  \(0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0\).

+ \((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q\)\(\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\).