2.1. Định nghĩa
– Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.
– Kí hiệu: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.\)
– Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.
– Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
– Dây cung CD và đường kính AB.
– Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.
+ Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu.
+ Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.
+ Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
+ Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.
2.2. Tính chất
– Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:
+ Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
+ Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
+ Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
2.3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
– Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).
– Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).
+ Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.
– Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
+ Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.
+ Nếu h < r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính \(r’ = \sqrt {{r^2} – {h^2}} .\)
2.4. Giao của mặt cầu với đường thẳng
– Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:
+ Nếu h=r thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.
– Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là \(\Delta\) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
+ Nếu h < r, \(\Delta\) cắt mặt cầu S(0;r) tại hai điểm M,N, đoạn thẳng MN có độ dài \(MN=2\sqrt{r^2-h^2}.\)
+ Nếu h>r thì đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.
2.5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
– Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\).
– Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: \(S = 4\pi {R^2}.\)
2.6. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chóp
a) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Hình chóp có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.
– Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: nếu hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên và trục dường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
b) Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
– Hình lăng trụ có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp.
– Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: nếu lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.