Không gian mẫu \(\Omega \) gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biên cố. Xác suất cũa biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\) trong đó: n(A) và n(\(\Omega\)) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập A và \(\Omega\).

Chú ý:

+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.

+ Với mọi biến cố A, \(0 \le P\left( A \right) \le 1\).

+ \(P\left( \Omega  \right) = 1,P\left( \emptyset  \right) = 0\).

Xác suất của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biển cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suât của nó càng gần 1

Ví dụ: Hộp thứ nhất đựng 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 4. Hộp thứ hai đựng 6 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.

a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử

b) Gọi A là biển cổ “Hai thẻ lấy ra có cùng số”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A và tính xác suất của biển cố A.

c) Gọi B là biến cố “Tổng hai số trên hai thẻ lấy ra lớn hơn 8”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho B và tính xác suât của biến cố B.

Giải

a) Kết quả của mỗi lần thứ lả một cặp (i; j) với ¡ \(\in\) {1; 2; 3; 4} là số trên thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất và j \(\in\) {1; 2; 3; 4; 5; 6} là sô trên thẻ lấy ra từ hộp thứ hai. Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega \) = (1;1); (1;2); 1; 3); (1; 4; (1; 5); (1; 6;

  (2; 1); (2; 2); (2; 3); 2; 4); (2; 5): (2; 6);

  (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6),

  (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4: 6);

b) Không gian mẫu gỏm có 24 kết quả, tức là n(\(\Omega \)) = 24.

Biển cỗ A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}

Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 4. Do đó, xác suất của biên cố A là:

\(P\left( A \right) = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\)

c) Biển cô B= {(3; 6); (4; 5); (4; 6}.

Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 3. Do đó, xác suất của biến cố B là

\(P\left( B \right) = \frac{3}{{24}} = \frac{1}{8}\)

Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đô hình cây đề liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất

Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tỉnh xác suât của biến cố A: “Trong 3 lần tung có ít nhất 2 lần liên tiếp xuât hiện mặt sấp”.

Giải

Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nều tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần tung được thê hiện ở sơ đồ hình cây như sau

Có tật cả 8 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho A. Do đó: \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}\)

Cho A là một biến cố. Khi đó biến cổ “Không xảy ra A”, kí hiệu là \(\overline A \), được gọi là biến cố đối của A. \(\overline A  = \Omega \backslash A;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P\left( {\overline A } \right) + P\left( A \right) = 1\)

Ví dụ: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cô “Tích sô chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”

a) Hãy tìm biến cô đôi của biến có A.

b) Hãy tính xác suất của biên cố A.

Giải

a) Biên cố đôi của biển cố A là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số lẻ”,

b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n\left( \Omega  \right) = {6^3}\).

\(\overline A \) xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là n(\(\overline A \)) = 3³

Xác suất của biến cố \(\overline A \) là \(P\left( {\bar A{\rm{ }}} \right) = \frac{{{3^3}}}{{{6^3}}} = \frac{1}{8}\)

Xác suất của biến cố A là \(P\left( {A{\rm{ }}} \right) = 1 – P\left( {\overline {A{\rm{ }}} } \right) = \frac{7}{8}\)

Trong thực tế, các biến cố có xác suât xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, các biển cố mà xác suất xảy ra gần băng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.

Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:

Nếu một biển cố cố xác suất rất bẻ thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra

Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đấm là số dương. Tuy nhiên, nểu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rât nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.

Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rât nhỏ, chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rât cao.