Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\).   (1) Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} – {R^2}} \right) = 0\). 

Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh R’= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\). 

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a, b) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn là: \(\left( {a – {x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {b – {y_0}} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 – 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { – 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0\).