Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục toạ độ Oxy được gọi là mặt phẳng toa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

*Toạ độ của một vectơ

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biêu diễn \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) được gọi là toạ độ của vectơ \(\overrightarrow a \). kí hiệu \(\overrightarrow a \) = (x, y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ \(\overrightarrow a \).

Chú ý:

+ \(\overrightarrow a  = \left( {x,y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \)

+ Nếu cho \(\overrightarrow a  = \left( {x,y} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x’,y’} \right)\) thì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’\\
y = y’
\end{array} \right.\)

*Toạ độ của một điểm

Trong mặt phẳng toa độ, cho một điểm M tuỳ ý. Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) được gọi là toạ độ của điểm M.

Nhận xét:

+ Nếu \(\overrightarrow {OM}  = \left( {x;y} \right)\) thì cặp số (x; y) là toa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M

+ \(M\left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) 

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M. Khi đó ta việt M(x_M; y_M).

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C được biểu điễn như Hình sau.

a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} \) qua hai vectơ \(\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow j \) .

b) Tìm toa độ của các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và các điểm A, B, C.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j ,\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j ,\overrightarrow {OC}  =  – 2\overrightarrow i  – \overrightarrow j \) 

b) Từ kết quả trên, suy ra: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA}  = (1;3),\overrightarrow b  = \overrightarrow {OB}  = (3;0),\overrightarrow c  = \overrightarrow {OC}  = ( – 2; – 1)\)

Do đó A(1; 3), B(3: 0), C(-2; -1)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\) và số thưucj k. Khi đó: \(\begin{array}{l} 1)\;\;\;\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right);\\ 2)\;\;\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {{a_1} – {b_1};{a_2} – {b_2}} \right);\\ 3)\;\;\;k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right);\\ 4)\;\;\;\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}. \end{array}\)

Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b  = \left( {4; – 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  – \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , – 5\overrightarrow b \)

Giải

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 + 4;5 + \left( { – 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {1 – 4;5 – \left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
 – 5.\overrightarrow b  = \left( { – 5.4; – 5.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 20;10} \right)
\end{array}\)

* Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)\)

* Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)

Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)