– Cho \(n\) là một số nguyên dương.

+ Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a……a}_n\)

+ Với \(a\ne0\): 

• ​\(a^0=1\)
• ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

– Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

Chú ý: 

– \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.

– Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

 

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

– Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

 

c) Lũy thừa với số mũ thực

– Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

– Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

– Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

+ \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)

+ \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)

+ \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)

+ \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)

+ \((a.b)^x=a^x.b^x\)

+ \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

– Cho số thực \(a\):

+ Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x < y\).