1.1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). – Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

 

Nhận xét: Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) thì phải có cả ba điều sau:

1. Hàm số xác định tại \({x_0}\)

2. Tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\).

3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Chú ý: Khi hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0}\) thì ta nói \(y = f(x)\) gián đoạn tại điểm \({x_0}\) và \({x_0}\) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

 

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b).  – \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.  – \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b)\).

 

Nhận xét: Đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] là một đường liền, có điểm đẩu, điểm cuối (Hình 3).

Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như sau: Nếu hàm số y= f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a).f (b)< 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a, b)\) sao cho f(c)=0.

 

1.3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

– Hàm số đa thức \(y = P(x)\) và các hàm số lượng giác \(y = \sin x, y=\cos x\) liên tục trên R.

– Hàm số phân thức \(y = {P(x)\over Q(x)}\), hàm số căn thức \(y = \sqrt f(x)\) và hàm số lượng giác \(y = \tan x, y=\cot x\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

 

1.4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

 Các hàm số \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) liên tục tại \({x_0}\).  Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tại x0, thương \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại x0 nếu \(g({x_0}) \ne 0\).