1.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
|
Cho điểm \(x_0\) thuộc khoảng \(K\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\), hoặc \(K\setminus \{x_0\}\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n\in K\setminus \{x_0\}\) và \(x_n \to x_0\), thì \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x_n \to x_0\). |
Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x ={x_0}\); \(\lim \limits_{x \to {x_0} }c ={c}\) (c là hằng số)
1.2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
|
– Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {g(x)} =M\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) + g(x)] = L + M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – g(x)] = L – M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x).g(x)] = L.M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}} = \frac{L}{M}{\rm{ (}}M \ne 0)\) – Nếu \({f(x)} \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L\) thì \(L\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{f(x)}} = \sqrt L\) (Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, \(x\ne x_0\)). |
Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x^k ={x_0^k}\), k là số nguyên dương;
\(\lim \limits_{x \to {x_0} }[c f(x)]={c}\lim \limits_{x \to {x_0} } f(x)\) (c là hằng số, nếu tồn tại \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) \in R\))
1.3. Giới hạn một phía
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ – } f(x) = L\). |
Chú ý:
– Ta thừa nhận các kết quả sau:
+ \(\lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x) = L\) và \(\lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\).
+ Nếu \(\lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x)\ne \lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x)\) thì không tồn tại \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x)\).
– Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \(x \to {x_0}\) bằng \(x \to {x_0^+}\) hoặc \(x \to {x_0^-}\).
1.4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to +\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to +\infty\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty; a)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n < a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to -\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to -\infty\). |
Chú ý:
– Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).
– Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \(x \to {x_0}\) bằng \(x \to +\infty \) hoặc \(x \to -\infty \).
1.5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
|
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). – Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là \(+\infty\) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to +\infty\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = +\infty\). – Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là \(-\infty\) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to -\infty\). Kí hiệu: \(\lim\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = -\infty\). |
Chú ý:
– Các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = -\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = -\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = +\infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = -\infty\) được định nghĩa tương tự như trên.
– Ta có các giới hạn thường dùng sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x – a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{1}{{x – a}} = – \infty \) \(a\in R\).
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với k nguyên dương.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = + \infty \) nếu k là số chẵn.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^k} = – \infty \) nếu k là số lẻ.
– Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g(x) = +\infty\) hoặc ( \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g(x) = -\infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } [f(x).g(x) ]\) được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay \( x_0^ +\) thành \( x_0^ -\) (hoặc \(+\infty\), \(-\infty\)).