Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\). Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.

Ví dụ: Các bất phương trình nào sau đây là bắt phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn. x = 1 và x= 2 có lả nghiệm của bắt phương trình đó hay không?

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x – 3 \ge 0;\\
b)3{x^3} + {x^2} – 1 \le 0.
\end{array}\)

Giải

3) \({x^2} + x – 3 \ge 0\) là một bât phương trình bậc hai một ân.

Vì \({1^2} + 1 – 3 =  – 1 < 0\) nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.

Vì \({2^2} + 2 – 3 = 3 > 0\) nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) \(3{x^3} + {x^2} – 1 \le 0\) không phải là một bât phương trình bậc hai một ẩn.

Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.

Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ: Giải bất phương trình bậc hai \(6{x^2} + 7x – 5 > 0\)

Giải

Tam thức bậc hai \(f(x) = 6{x^2} + 7x – 5\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{5}{3}\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\). 

a = 6 > 0 nên f(x) đương với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{3}} \right),\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Vậy bất phương trình \(6{x^2} + 7x – 5 > 0\) có tập nghiệm là \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Lưu ý: Có thể sử dụng đồ thị hàm số \(f(x) = 6{x^2} + 7x – 5\) (Hình trên) để giải bất phương trình ƒ(x) > 0.