Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\) và số thưucj k. Khi đó: \(\begin{array}{l} 1)\;\;\;\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right);\\ 2)\;\;\;\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {{a_1} – {b_1};{a_2} – {b_2}} \right);\\ 3)\;\;\;k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right);\\ 4)\;\;\;\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}. \end{array}\)

Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b  = \left( {4; – 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  – \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , – 5\overrightarrow b \)

Giải

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 + 4;5 + \left( { – 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \left( {1 – 4;5 – \left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
 – 5.\overrightarrow b  = \left( { – 5.4; – 5.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( { – 20;10} \right)
\end{array}\)

+ Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)

+ Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

Nếu \(\overrightarrow u  = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\).

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; – 1), C(8; 0).

a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(cos\widehat {ABC}\).

b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7;1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.7 + 3.1 = 10\).

Mặt khác, ta cũng có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} ,\\
cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}\) 

b) Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { – 1; – 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6; – 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { – 1} \right).6 + \left( { – 3} \right).\left( { – 2} \right) = 0\). 

Vậy \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Do \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\), tức là tam giác ABC vuông tại A.

Mà \(cos\widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^0}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^0} – {63^0} = {27^0}\).

Mặt khác, ta có: 

\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} ,\\
BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 ,\\
CA = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {10} 
\end{array}\)