a) Phép thử ngẫu nghiên và không gian mẫu

+ Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử). + Tập hợp \(\Omega \) các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó.

Ví dụ: Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghỉ một trong các số 1, 2, 3; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp, ghi lại số của thẻ được rút ra và bỏ lại thẻ đó vào hộp. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên liên tiếp hai chiếc thẻ trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.

Giải

Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp \(\Omega \) = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}. ở đó, chẳng hạn (1 ; 2) là kết quả “Lần thứ nhất rút ra thẻ ghi số 1, lần thứ hai rút ra thẻ ghi số 2”.

b) Biến cố

Biếu cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu.

Chú ý: Vì sự kiện chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của một biến cố nên ta cũng, gọi sự kiện là biến cố. Chẳng hạn: Sự kiện “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” trong phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp” là một biến cố.

Ví dụ: Ý Xét phép thử “Gieo một xúc xắc hai lân liên tiếp”. 

a) Sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 5” tương ứng với biến cố nào của phép thử trên?

b) Phát biểu biến cố D = {(1;5); (5; 1); (2; 4); (4; 2); (3; 3); (6 ; 6)} của không gian mẫu (của phép thử trên) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

Giải

a) Sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 5” tương ứng với biến cố:

C = {(1;4); (4; 1); (2; 3); (3; 2); (4; 6); (6; 4); (5; 5)} của phép thử trên.

b) Tập con D bao gồm tất cả các phân tử của không gian mẫu có tính chất đặc trưng là tổng hai số trong mỗi cặp chia hết cho 6. Vậy biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh để nêu sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 6”.

*Biến cố không. Biến cố chắc chắn

Xét phép thử T với không đìan mẫu \(\Omega \). Mỗi biến cố là một tấp coh của tập hợp \(\Omega \). Vì thể, tập rỗng \(\emptyset \) cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp \(\Omega \) gọi là biến cố chắc chắn.

Chẳng hạn, khi gieo một xúc xắc, biến cố “Mặt xuất hiện có 7 chấm” là biến cố không, còn biến cố “Mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá 6” là biến cố chắc chắn.

*Biến cố đối

Xét phép thử T với không gian mẫu là \(\Omega \). Giả sử A là một biến cố. Như vậy, A là tập con của tập hợp \(\Omega \). Ta xét tập con \(\Omega \)\A là phản bù của A trong \(\Omega \).

Tập con \(\Omega \)\A xác định một biến có, gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là \(\overline A \).

Chẳng hạn, khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc một lần, biến cố “Mặt xuất của xúc xắc có số chấm là số là” là biến cế đối củn hiến cố “Mặtt xuất hiện của xúc xắc có số xắc có số chấm là số lẻ” là biến cố đối của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”.

Chú ý: Nếu biến cố A được mô tả dưới dạng mệnh để toán học \(Q\) thì biến cố đối \(A\) được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề \(Q\) (tức là mệnh đề \(\overline Q \)).

c) Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), bằng tỉ số \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\), ở đó n(A), n(\(\Omega \)) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp A và \(\Omega \). Như vậy: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Ví dụ: Một hộp có 5 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,4, 5; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ từ trong hộp.

a) Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu trong trò chơi trên. Tính số phân tử của tập hợp \(\Omega \).

b) Tính xác suất của biến cố E: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ”.

Giải

a) Mỗi phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là một tổ hợp chập 2 của 5 phân tử trong tập hợp

\(n\left( \Omega  \right) = C_5^2 = \frac{{5!}}{{2!.3!}} = \frac{{5.4}}{2} = 10\). 

b) Biến cố E gồm các cách chọn ra hai chiếc thẻ ghi số là: 1 và 2; 1 và 4; 2 và 3; 2 và 5; 3 và 4; 4 và 5. Vì thế n(E) = 6. Vậy xác suất của biến cố E là:

\(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

+ \(P\left( \emptyset  \right) = 0;P\left( \Omega  \right) = 1;\) + \(0 \le P\left( A \right) \le 1\) với mỗi biến cố A; + \(P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)\) với mỗi biến cố A.

Ví dụ: Một hộp có 10 quả bóng trắng và 10 quả bóng đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đông thời 9 quả bóng trong hộp. Tính xác suất để trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ.

Giải

Mỗi lần lấy ra đồng thời 9 quả bóng cho ta một tổ hợp chập 9 của 20 phần tử. Do đó, không gian mẫu \(\Omega \) gồm các tổ hợp chập 9 của 20 phần tử và \(n\left( {\Omega {\rm{ }}} \right) = C_{20}^9\). 

Xét biến cố K: “Trong 9 quả bóng được lấy ra có ít nhất một quả bóng màu đỏ”.

Khi đó biến cố đối của biến cố K là biến có \(\overline K \): Trong quả bóng được lấy ra không có quả bóng màu đỏ nào”, tức là cả 9 quả bóng được lấy ra có màu trắng.

Mỗi lần lấy ra đồng thời 9 quả bóng màu trắng cho ta một tổ hợp chập 9 của 10 phần tử.

Do đó \(n\left( {\overline K } \right) = C_{10}^9 = \frac{{10!}}{{9!.1!}} = 10\). Suy ra \(P\left( {\overline K } \right) = \frac{{n\left( {\overline K } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{10}}{{C_{20}^9}}\). Vậy \(P\left( K \right) = 1 – P\left( {\overline K } \right) = 1 – \frac{{10}}{{C_{20}^9}}.\) 

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất bé sẽ gần như không xảy ra trong phép thử. Chẳng hạn, mỗi chuyến bay đều có một xác suất rất bé bị xảy ra tai nạn. Nhưng trên thực tế, tai nạn của một chuyến bay sẽ không xảy ra. Từ đó, ta thừa nhận nguyên lí sau đây, gọi là nguyên lí xác suất bé: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phải tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Ví dụ như xác suất để dù không mở là 0,01 (dùng cho nhảy dù) thì cũng không thể coi là bé và không thể dùng loại đù đó. Nhưng nếu xác suất để tàu về ga chậm là 0,01 thì lại có thẻ xem là tàu về ga đúng giờ.