a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (\(n \in N*\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ

Giải

Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 212, 621.

b) Số các hoán vị

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n(n – 1)… 2. 1.

Quy ước: Tích 1. 2… n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2… n.

Như vậy P_n = n!

Ví dụ: Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải

Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: P₅ = 5 . 4 . 3. 2. 1 = 120.

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Kết quả của việc lấy k phân tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phân tử đã cho.

Ví dụ: Hãy liệt kê tắt cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

Giải

Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số I, 2, 3, 4, 5 là:

12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

b) Số các chỉnh hợp

Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\). Ta có: \(A_n^k = n\left( {n – 1} \right)…\left( {n – k + 1} \right)\).

Ví dụ: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).