Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) được kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \).  Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Quy tắc ba điểm:

Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)

Quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB} \)

– Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:

• Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \)
• Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)
• Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a \) 

Ví dụ: Cho hình Vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} \). 

Giải

Do \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DB} \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \) 

Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} } \right| = AC = \sqrt 2 \) 

– Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) – Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(-\overrightarrow a \). – Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó. – Vectơ \(\overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a  – \overrightarrow b \). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: 

– Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng \(\overrightarrow 0 \).

– Nếu \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow a \) thì \(\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow b  + \left( { – \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow c \)

– Với ba điểm O, M, N tuỷ ý, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {ON}  = \left( { – \overrightarrow {OM} } \right) + \overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OM} \)

– Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OM} \)

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

Giải

Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
 = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
 = \overrightarrow 0 
\end{array}\)