Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là BPT có một trong các dạng \(ax + by + c \le 0\;;ax + by + c \ge 0;ax + by + c < 0;ax + by + c > 0\) trong đó a, b, c là những số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Ví dụ: Tìm bất phương trình bậc nhât hai ân trong các bất phương trình sau đây:

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}x – 5y + 2 < 0;\\
b){\rm{ }}9{x^2} + 8y – 7 \ge 0;\\
e){\rm{ }}3x – 2 > 0;\\
d){\rm{ }}4y + 11 \le 0.
\end{array}\)

Giải

Các bất phương trình a), c), đ) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa x².

Xét bất phương trình: \(ax + by + c < 0\).  Mỗi cặp số \(({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} + c\; < 0\) được gọi là một nghiệm của BPT đã cho.

Chú ý:

Nghiệm của các bất phương, trình \(ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0,ax + by + c \ge 0\) được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bắt phương trình 20x + 50y – 700 < 0 ?

a) (5; 6);

b) (9;11).

Giải

a) Vì 20.5 + 50.6 – 700 = – 300 < 0 nên (5; 6) là nghiệm của bât phương trình 20x + 50y – 700 < 0:

b) Vi 20.9 + 50.11 – 700 = 30 > 0 nên (9; 11) không phải là nghiệm của bắt phương trình 20x + 50y – 700 < 0. 

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\). +) Biểu diễn miền nghiệm của BPT \(ax + by + c < 0\) Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Bước 2: Lấy một điểm \(M({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta .\) Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\) Bước 3: Kết luận – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(M\). – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(M\).

Chú ý:

Đỗi với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dang \(ax + by + c \le 0\) (hoặc \(ax + by + c \ge 0\)) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

Ví dụ: Biểu diễn miễn nghiệm của các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}x – 2y – 1 > 0;\\
b){\rm{ }}x + y – 1 \le 0.
\end{array}\) 

Giải

a) Vẽ đường thẳng \(\Delta 😡 – 2y – 1 = 0\) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; \(- \frac{1}{2}\)).

Xét gốc toạ độ O(0: 0). Ta thây \(O \notin \Delta \) và 0 -2.0 – 1 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(\Delta \), không chứa gốc toa độ O (miền không gạnh chéo trên hình sau)

b) Vẽ đường thẳng \(\Delta 😡 + y – 1 = 0\) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; 1).

Xét gốc toạ độ O(0; 0). Ta thấy \(O \notin \Delta \) và 0 + 0 – 1< 0. Do đó, miền nghiệm của bât phương trình là nửa mặt phẳng kẻ cả bờ \(\Delta \), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình sau).