Tổng quát ta có

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phân tử đó (với n là một số tự nhiên, n > 1). Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là \({P_n}\) được tính bằng công thức \({P_n} = n.\left( {n – 1} \right).\left( {n – 2} \right)…2.1.\)

Chú ý: Kí hiệu \(n.\left( {n – 1} \right).\left( {n – 2} \right)…2.1\) là n! (đọc là n giai thừa), ta có: \({P_n} = n!\). Chẳng hạn \({P_3} = 3! = 3.2.1 = 6\). 

Quy ước 0!= 1.

Ví dụ 1: Từ các chữ số 6, 7, 8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

Giải

Mỗi cách sắp xếp bốn chữ số đã cho để lập thảnh một số có bốn chữ số khác nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là \({P_4} = 4! = 24.\)

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)).  Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là \({A_n}^k\), được tính bằng công thức \({A_n}^k = n.\left( {n – 1} \right)…\left( {n – k + 1} \right)\) hay \({A_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\)

Ví dụ: Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lằn lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiều cách chọn?

Giải

Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bồn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30.

Vậy số cách chọn là \({A_{30}}^4 = 657720\). 

Chú ý

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần từ của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng. 

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần từ đó. Vì vậy \({P_n} = {A_n}^n\). 

Tổng quát ta có:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)). Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là \({C_n}^k\), được tinh bằng công thức \({C_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\)

Chú ý

+ \({C_n}^k = \frac{{{A_n}^k}}{{k!}}\) 

+ Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là \({C_7}^4 = \frac{{7!}}{{4!3!}} = 35\). 

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính \({P_n},{A_n}^k,{C_n}^k\) sẽ được dùng rất nhiều. 

Dưới đây ta xét một số vĩ dụ về các bài toán đếm.

Ví dụ: Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội

a) Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan).

b) Anh Hưng có việc đột xuất phải vẻ sớm, nên anh chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?

Giải

a) Anh Hưng đi tham quan 5 địa điểm, mối cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của 5 địa điểm trên. Vậy số cách xép lịch trình chính bằng số các hoán vị của 5 địa điểm, và bằng

\({P_5} = 5! = 5.4.3.2.1 = 120\) (cách) 

b) Nếu anh Hưng chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 nơi, thì mối cách xếp lịch trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự 3 địa điểm từ 5 địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Vây số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là

\({A_5}^3 = \frac{{5!}}{{\left( {5 – 2} \right)!}} = \frac{{5!}}{{2!}} = 60\) (cách) 

Ta có thể dùng máy tính cằm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phim theo trình tự sau:

Án số n, ấn phím  sau đó ấn phím . Khi đó, két quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tính 9!.

Ta ấn liên tiếp các phim như sau: 

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Chỉnh hợp

Để tinh \({A_n}^k\) ta ấn phim theo trình tự sau:

Án số n, ấn phim  ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tính \({A_{15}}^2\)

Ta ấn các phim theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra 210.

Tổ hợp

Để tính \({C_n}^k\) ta án phím theo trình tự sau:

Ấn số n, ấn phim  ấn số k sau đó ấn phim . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tỉnh \({C_{20}}^5\) 

Ta ấn các phím theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra 15 504.