Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\).   (1) Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – \left( { – 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C’) có tâm J(2; – 1) và có bán kinh R’= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\). 

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} – {R^2}} \right) = 0\). 

Phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{a}}x – 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;{\rm{ }}4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của \({\Delta _1}\) là

1(x – 1) – 2(y – 2)= 0 hay x – 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn thẳng AC đi qua \(N\left( { – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { – 9,{\rm{ }}3} \right)\).

Vi A€(-9; 3) cùng phương với n; (3 – 1) nên Az cũng nhận n; (3 – 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của \({\Delta _2}\) là

\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) – 1\left( {y – \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x – y + 9 = 0\) 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x – 2y + 3 = 0\\
3x – y + 9 = 0
\end{array} \right.\)

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\). 

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường tròn \((C):{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\) (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến \(\Delta \) của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( {a – {x_0};b – {y_0}} \right)\) và phương trình \(\left( {a – {x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {b – {y_0}} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 – 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { – 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( – 1\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0\).