– Mệnh đề là câu khẳng định đúng hoặc sai. – Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. – Một khẳng định sai đúng gọi là mệnh đề sai. – Một mệnh đề không thể vừa đúng vửa sai.

Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) 3 là số lẻ

b) 1 + 2 > 3

c) \(\pi \) là số vô tỉ phải không?

d) 0,0001 là số rất bé

e) Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên sao hoả

f) \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ

g) \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + … + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2\)

Giải

a) “3 là số lẻ” là mệnh đề (là mệnh đề đúng)

b) “1 + 2 > 3” là mệnh đề (là mệnh đề sai)

c) “\(\pi \) là số vô tỉ phải không?” là câu hỏi không phải mệnh đề

d) Câu “0,0001 là số rất bé” không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất bé). Do đó, nó không phải là mệnh đề

e) “Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên sao hoả” là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên nó chắc chắn có thể hoặc đúng hoặc sai. Do đó nó là một mệnh đề.

f) “\(\sqrt 2 \) là số vô tỉ” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

g) “\(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + … + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2\)” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

Chú ý: Những mệnh đề liên quan đến toán học (như các mệnh đề ở câu a), câu b) trong ví dụ còn được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ: Xét câu “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên)

Câu n chia hết cho 5 là một khẳng định nhưng không là mệnh đề , vì khẳng định này có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị n. Tuy vậy, khi thay n bằng một số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề. Ta gọi “n chia hết cho 5” là một mệnh đề chưa biến (biến n), kí hiệu P(n). Ta viết P(n): “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên)

– Một mệnh đề chứa biến có thể chưa một biến hoặc nhiều biến

Ví dụ: Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) \(P(x): “x^2=2″\)

b) \(Q(x): “x^2+1>0″\).

Giải

a)

+) \(x = \sqrt 2 \) ta được mệnh đề  là một mệnh đề đúng.

+) \(x = 0\) ta được mệnh đề  là một mệnh đề sai.

b)

+) \(x = 0\) ta được mệnh đề  là một mệnh đề đúng.

+) Không có giá trị của x để  là một mệnh đề sai do \({x^2} + 1 > 0\) với mọi x.

Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là \(\overline P \) Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh

b) 23 là số nguyên tố

Giải

+ Mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên là:

a) “Paris không phải là thủ đô của nước Anh”

b) “23 không phải là số nguyên tố”

+) Xét tính đúng sai:

a) “Paris là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề sai.

“Paris không phải là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề đúng.

b) “23 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

“23 không phải là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề ” Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P => Q Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Nhận xét: 

a) Mệnh đề p => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “từ P suy ra Q”.

b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề P đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học sơ sở

* Khi mệnh đề P => Q là định lí, ta nói:

• P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.
• P là điều kiện đủ để có Q.
• Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ: Xét hai mệnh đề dạng \(P \Rightarrow Q\) sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)”;

“Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} – 4 = 0\)”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) và xét tính đúng sai của nó.

Giải

a)

+) Mệnh đề R: “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng \({60^o}\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với

P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC có hai góc bằng \({60^o}\)”

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay R đúng.

+) Mệnh đề T: “Nếu \(a = 2\) thì \({a^2} – 4 = 0\)” có dạng \(P \Rightarrow Q\), với:

P: “\(a = 2\)” và Q: “\({a^2} – 4 = 0\)”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó \(P \Rightarrow Q\) đúng hay T đúng.

b) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) của hai mệnh đề trên là:

“Nếu ABC có hai góc bằng \({60^o}\) thì nó là tam giác đều”, đúng.

“Nếu \({a^2} – 4 = 0\) thì \(a = 2\)” sai (vì thiếu nghiệm \(a =  – 2\)).

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là nmệnh đề đúng.

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\) (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”) Khi đó, ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (Q là điều kiện cần và đủ để có P)

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai

Ví dụ: Cho hai mệnh đề \(A\):”6 chia hết cho 2″ và \(B\):”4 là số chẵn”

Khi đó mệnh đề \(A\) và \(B\) đều đúng nên \(A \Leftrightarrow B\) phát biểu là “6 chia hết cho 2 khi và chỉ khi 4 là số chẵn”

Mệnh đề \(\forall x \in M,P(x)\) đúng với mọi \({x_0} \in M\), P(x) là mệnh đề đúng. Mệnh đề \(\exists x \in M,P(x)\) đúng nếu có \({x_0} \in M\),sao cho P(x) là mệnh đề đúng.

Ví dụ: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x – 4\)

Giải

a) Mệnh đề sai, vì \(x = 0 \in \mathbb{R}\) nhưng \({0^2}\) không lớn hơn 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)”

b) Mệnh đề đúng, vì \(x = 1 \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \({1^2} = 5.1 – 4\)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} \ne 5x – 4\)”