a) Mệnh đề

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vửa sai.

Chú ý:

– Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R,… để biểu thị các mệnh đề.

– Thông thường, những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu ccầu khiến không phải là mệnh đề.

– Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ:

1+3=4 là mệnh đề.      

“Cô giáo xinh quá” không phải là mệnh đề.

b) Mệnh đề chứa biến

Xét câu “n chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến.

Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên, nếu thay n bằng một số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề. Chẳng hạn:

Với “n=5” ta được mệnh đề “5 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề sai.

Với “n=10” ta được mệnh đề “10 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề đúng.

Ta nói rằng câu “n chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến.

Mệnh đề P và mệnh đề \(\overline P\) là hai mệnh đề trái ngược nhau. Nếu P đúng thì \(\overline P\) sai, còn nếu P sai thì \(\overline P\) đúng

Ví dụ:

Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “2 022 chia hết cho 5”

Q: “Bất phương trình 2x + 1 > 0 có nghiệm”.

Giải

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline P \): “2 022 không chia hết cho 5”

Mệnh đề \(\overline P \) đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là \(\overline Q \): “Bất phương trình \(2x + 1 > 0\) vô nghiệm”.

Mệnh đề \(\overline Q \) sai vì bất phương trình \(2x + 1 > 0\) có nghiệm, chẳng hạn:  \(x = 0;\;x = 1\).

a) Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P=> Q P là giả thuyết của định lí, Q là kết luận của định lí, hoặc ” P là điều kiện đủ để có Q” hoặc “Q là điều kiện cần để có P”.

Ví dụ: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu P thì Q”. 

Giải

Phát biểu: “Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\).”

b) Mệnh đề đảo

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. 

Ví dụ: Xét hai câu sau:

P: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt”;

Q: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4ac\;\, > 0\)”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

b) Hãy phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\).

Giải

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4ac\;\, > 0\).”

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\): “Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4ac\;\, > 0\) thì phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt.”

Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

Nhận xét: Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng thì mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) đúng. Khi đó, ta nói “P tương đương với Q” hoặc “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”.

Ví dụ: Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.

Giải

Xét hai mệnh đề:

P: “Số tự nhiên n chia hết cho 2”

Q: “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8”

Ta có: mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều đúng. Vậy mệnh đề tương đương\(P \Leftrightarrow Q\) đúng.

Phát biểu dưới dạng cần và đủ: “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là điều kiện cần và đủ để có số tự nhiên n chia hết cho 2”

– Câu “Mọi số thực đều có bình phương không âm” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau: \(P:\forall x \in R,{x^2} \ge 0\) 

– Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau: \(Q:\exists x \in Q,{x^2} = 2\)

Kí hiệu \(\forall\) đọc là “với mọi” Kí hiệu \(\exists\) đọc là “tồn tại”

Ví dụ: Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

“\(\forall x \in ,\;{x^2} + 1 \le 0.\)”

Giải

Phát biểu: “Với mọi số thực, tổng của bình phương của nó và 1 luôn nhỏ hơn 0”

Mệnh đề này sai.