1.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
a. Định nghĩa
|
Cho khoảng K chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\setminus \{x_0\}\). Hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\) bất kì, \(x_n\in K\setminus \{x_0\}\) và \(x_n \to x_0\), thì \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to x_0\). |
Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x ={x_0}\); \(\lim \limits_{x \to {x_0} }c ={c}\) (c là hằng số)
b. Phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Ta thừa nhận định lí sau:
|
– Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M(L,M\in R)\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x) + g(x)] = L + M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x) – g(x)] = L – M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x).g(x)] = L.M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } \frac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}} = \frac{L}{M}{\rm{ (}}M \ne 0)\) – Nếu \({f(x)} \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } {f(x)} = L\) thì \(L\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } \sqrt {{f(x)}} = \sqrt L\) |
c. Giới hạn một phía
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \(a < {x_n} < {x_0} \) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ – } f(x) = L\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\). |
Chú ý: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x) = \lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x) = L\).\
1.2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to +\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to +\infty\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty; a)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n < a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to -\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to -\infty\). |
Chú ý:
– Với c, k là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c\)
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).
– Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số \(x \to {x_0}\) vẫn đúng khi \(x \to +\infty \) hoặc \(x \to -\infty \).
1.3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a; {x_0})\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là \(+\infty\) khi \(x \to a^+\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to a\). Ta có: \(f({x_n}) \to +\infty\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ + } f(x) = +\infty\) hay \(f({x_n}) \to +\infty\) khi \(x \to a^+\). – Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ + } f(x) = -\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ – } f(x) = +\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ – } f(x) = -\infty\) được định nghĩa tương tự. |
Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x – a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{1}{{x – a}} = – \infty \) \(a\in R\).
1.4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
|
– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → +∞. Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = +\infty\) hay f(x) →+∞ khi x → +∞. – Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = -\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to –\infty } f(x) = +\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to –\infty} f(x) = -\infty\) được định nghĩa tương tự. |
Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:
• với k là số nguyên dương.
• k là số nguyên dương chẵn.
• k là số nguyên dương lẻ.