1.1. Khái niệm
Khái niệm dãy số hữu hạn
|
– Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ*) được gọi là một dãy số hữu hạn. Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số uk nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …., um. – Số u1 gọi là số hạng đầu, số um gọi là số hạng cuối của dãy số đó. |
Khái niệm dãy số vô hạn
|
– Mỗi hàm số u: ℕ* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn. Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số un nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …., un, … – Dãy số đó còn được viết tắt là (un). – Số u1 gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u2 gọi là số hạng thứ hai,…, số un gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. |
Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.
1.2. Cách cho một dãy số
Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:
|
– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó. – Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó. – Cho bằng phương pháp truy hồi. |
Ví dụ
– Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9, 11 là dãy cho bởi cách liệt kê các số hạng.
– Dãy số (un) gồm các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó (un) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
– Khi nói đến dãy số (un) với ta hiểu đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
– Dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1 và un = 3 – 2un – 1, với n ≥ 2. Đây là dãy cho bởi phương pháp truy hồi.
1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm
|
– Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*. – Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*. |
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm.
Chẳng hạn, dãy số (un) với (un) = (–1)n có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.
1.4. Dãy số bị chặn
|
– Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*. – Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n ∈ ℕ*. – Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*. |
Ví dụ. CMR: Dãy số (un) với un = 2n2 – 3 là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
Hướng dẫn giải
– Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 ⇒ n2 ≥ 1
⇒ un = 2n2 – 3 ≥ 2.1 – 3 = –1.
⇒ un ≥ –1
⇒ Dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.
– (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = 2n2 – 3 ≤ M với mọi n ∈ N*
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.